Question

在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|=|DM|，点P在圆上运动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过定点C（-1，0）的直线与点M的轨迹交于A、B两点，在x轴上是否存在点N，使为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设M（x，y），利用|DP|=|DM|，确定P，M坐标之间的关系，再将P点的坐标后代入圆的方程即可得；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的数量积运算，化简即可得到结论．
【解析】
（I）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）
∵|DP|=|DM|，∴
∵P（x，y1）在圆x2+y2=4上，∴
∴x2+2y2=4
∴点M的轨迹C的方程为；
（Ⅱ）假设存在N（n，0）
AB斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程：y=k（x+1），
代入椭圆方程得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2-4=0，∴x1+x2=-，x1x2=
∵，
∴=（x1-n，y1）•（x2-n，y2）=（1+k2）x1x2+=
∵是与k无关的常数，
∴
∴n=-，即N（-，0），此时
当直线AB与x垂直时，n=-时
综上所述，在x轴上存在定点N（-，0），使为常数．