Question

已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2），B（1，3），C（2，5），l为BC边上的高所在直线．
（1）求直线l的方程；
（2）直线l与椭圆相交于D、E两点，△CDE是以C（2，5）为直角顶点的等腰直角三角形，求该椭圆的方程．

Answer

（1）利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可得到kl，再利用点斜式即可得出；
（2）利用等腰三角形的性质可得底边DE的中点F的坐标，下面转化为中点弦的问题，把直线l的方程与椭圆的方程联立及利用根与系数的关系即可得出．
【解析】
（1）kBC=2，因为l为BC边上的高所在直线，∴l⊥BC，∴kl•kBC=-1，解得，
直线l的方程为：y-2=（x-3），即：x+2y-7=0
（2）过C作CF⊥DE，依题意，知F为DE中点，直线CF可求得为：2x-y+1=0．
联立两直线方程可求得：F（1，3），
由椭圆方程与直线ED联立方程组，
可得：（a2+4b2）y2-28b2y+49b2-a2b2=0，化为，
又CF=，所以，|DE|=2=2，即=2，
所以，=4，即36-4=4，解得：，
所以，所求方程为：