Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，求a+c的最大值．

Answer

（I）由二倍角的余弦公式和降幂公式，将已知等式化简得2cos2B+cosB-1=0，结合三角形内角的范围解出，即可得到角B的大小；
（II）由正弦定理结合题中数据，算出a=2sinA且c=2sinC，从而a+c=2（sinA+sinC）=2[sinA+sin（A+）]，展开合并后利用辅助角公式，化简得a+c=，最后根据三角函数的图象与性质和角A的范围，算出当时，a+c的最大值为．
【解析】
（I）∵cos2B=2cos2B-1，sin2=（1-cosB）
∴由，得2cos2B+cosB-1=0，…（2分）
解之得或cosB=-1
∵B∈（0，π），得-1＜cosB＜1，
∴舍去cosB=-1得，…（5分）
因此可得．…（7分）
（Ⅱ）∵B=且b=
∴，得 …（9分）
∴
=2[sinA+（sinAcos+cosAsin）]=2（）=． …（11分）
∵，∴，可得，…（13分）
因此，当时，即时，a+c的最大值为．…（14分）