Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=S_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的正整数n，ka_n，（k-1）a_n+1，（k-2）a_n+2都成等差数列，求实数k的值．

Answer

（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列是等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用kan，（k-1）an+1，（k-2）an+2都成等差数列，结合数列的通项公式建立等式，即可求实数k的值．
【解析】
（I）当n=1时，a2=S1+1=2；       …（2分）
当n≥2时，因为an+1-an=Sn+1-（Sn-1+1）=an，所以an+1=2an．…（5分）
又a2=2a1，所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以．…（7分）
（Ⅱ）由题意得2（k-1）an+1=kan+（k-2）an+2，…（10分）
即2（k-1）2n=k•2n-1+（k-2）2n+1，…（12分）
解得k=4．…（14分）