Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-AD-C的大小为60°，求AB₁与平面ADC₁所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）连结A1C交AC1于点E，利用三角形中位线的性质证明DE∥A1B，利用线面平行的判定定理证明A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）找出二面角C1-AD-C的平面角，作出AB1与平面ADC1所成角求出相关线段的长度，即可求得正弦值．
（Ⅰ）证明：连结A1C交AC1于点E，则E是A1C的中点．         …（2分）
连结DE，∵D是BC的中点，∴DE∥A1B．…（4分）
∵DE⊂面ADC1，A1B⊄面ADC1，
∴A1B∥面ADC1．        …（6分）
（Ⅱ）【解析】
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．
∵C1C⊥面ABC，∴C1C⊥AD，
∴AD⊥面BCC1B1，…（8分）
∴∠C1DC就是二面角C1-AD-C的平面角，即∠C1DC=60°．  …（9分）
∵AD⊥面BCC1B1，∴面ADC1⊥面BCC1B1．
过B1作B1H⊥C1D于H，∴B1H⊥面ADC1，…（11分）
连结AH，则∠B1AH就是AB1与平面ADC1所成的角．  …（12分）
设CD=1，则，，
∴，
即AB1与平面ADC1所成角的正弦值为． …（14分）