Question

若（a≠1），在定义域（-∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

当函数单调性是增函数时，相应二次函数图象为开口向上的抛物线且指数型函数的系数大于0，并且在x=0时，二次函数对应的值大于或等于指数型函数对应的值．由此建立关于a的方程组并解之，即可得到实数a的范围，同样的方法可得函数的单调性是减函数时实数a的取值范围，最后综合可得本题的答案．
【解析】
f（x）在定义域（-∞，+∞）上是单调函数时，
①函数的单调性是增函数时，可得当x=0时，（a2-1）eax≤ax2+1=1，
即a2-1≤1，解之得-≤a≤
∵x≥0时，y=ax2+1是增函数，∴a＞0
又∵x＜0时，（a2-1）eax是增函数，∴a2-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，实数a的取值范围是：1＜a＜
②函数的单调性是减函数时，可得当x=0时，（a2-1）eax≥ax2+1=1，
即a2-1≤1，解之得a≤-或a≥．
∵x≥0时，y=ax2+1是减函数，∴a＜0
又∵x＜0时，（a2-1）eax是增函数，∴a2-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，实数a的取值范围是：a＜-
综上所述，得a∈
故选：C