Question

如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中AB⊥BC，AB=BD=CC₁=2，D为AC的中点．
（I）证明AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）证明A₁C⊥平面BDC₁；
（Ⅲ）求二面角A-BC₁-D的正切值．

Answer

（I）连接B1C与BC1相交于O，连接OD，证明OD∥AB1，利用线面平行的判定，可得结论；
（Ⅱ）证明BD⊥A1C，BC1⊥A1C，利用线面垂直的判定定理，可证A1C⊥平面BDC1；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面BC1D的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-BC1-D的正切值．
（I）证明：连接B1C与BC1相交于O，连接OD
在△CAB1中，∵O，D分别是B1C，AC的中点，
∴OD∥AB1
∵AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，
∴AB1∥平面BDC1；
（Ⅱ）证明：直棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC
∵BD⊂平面ABC，∴AA1⊥BD
∵AB=BC=2，D为AC的中点，∴BD⊥AC
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C1C
∴BD⊥A1C①
∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B
∴A1B1⊥平面B1C1CB
∴A1B1⊥BC1
在正方形B1C1CB中，BC1⊥B1C，
∵B1C，A1B1⊂平面A1B1C，B1C∩A1B1=B1
∴BC1⊥平面A1B1C
∴BC1⊥A1C②
由①②，∵BD∩BC1=B，BD，BC1⊂平面BDC1，
∴A1C⊥平面BDC1；
（Ⅲ）【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则=（-2，-2，0），=（1，0，1）
设平面BC1D的法向量=（x，y，z），则由，可得，∴可取=（1，1，-1）
∵平面BC1A的法向量=（2，2，0）
设二面角A-BC1-D的平面角为θ，则cosθ=cos＜＞=
∴．