Question

已知对称中心为坐标原点的椭圆C₁与抛物线C₂：x²=4y有一个相同的焦点F₁，直线l：y=2x+m与抛物线C₂只有一个公共点．
（1）求直线l的方程；
（2）若椭圆C₁经过直线l上的点P，当椭圆C₁的离心率取得最大值时，求椭圆C₁的方程及点P的坐标．

Answer

（1）根据直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点，所以x2=4（2x+m）只有唯一解，从而可求m的值，即可得到直线l的方程；
（2）椭圆两焦点F1（0，1），F2（0，-1），椭圆过直线l上的点P，要使椭圆的离心率最大，只需|PF1|+|PF2|有最小值，只需求F2关于直线L的对称点F3到F1的距离即可．
【解析】
（1）又因为直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点，所以x2=4（2x+m）只有唯一解，所以x2-8x-4m=0只有唯一解，所以64+16m=0，所以m=-4，∴直线l的方程为：y=2x-4．
 （2）抛物线C2：x2=4y的焦点坐标为F1（0，1），所以椭圆C1中，c=1，焦点在y轴上，
所以椭圆两焦点F1（0，1），F2（0，-1）．
椭圆又过直线l上的点P，要使椭圆的离心率最大，只需|PF1|+|PF2|有最小值，
只需求F2关于直线L的对称点F3到F1的距离即可．
设F2关于直线L的对称点F3（m，n），
∴，解得，
即F3（，-），所以直线F1F3方程为：，即y=-x+1，
与直线l联立，可得，即P（）；
此时椭圆C1中，2a=|F1F3|=4，
∴a2=4，
∴b2=a2-c2=3，
∴椭圆方程为