Question

已知f（x）是R上的偶函数，对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若f（1）=2，则f（2005）=（ ）
A．2005
B．2
C．1
D．0

Answer

根据恒等式和偶函数的定义令x=-x代入，求出函数的周期是12，又因2005=167×12+1，故f（2005）就是f（1）的值．
【解析】
由题意知，f（x+6）=f（x）+f（3）和函数是偶函数，
令x=-x代入上式得，f（-x+6）=f（-x）+f（3）=f（x）+f（3），
∴f（x+6）=f（6-x）=f（x-6），即f（x+12）=f（x），
∴f（2005）=f（167×12+1）=f（1）=2．
故选B．