Question

设函数f（x）=（x+1）ⁿ（n∈N），且当x=时，f（x）的值为17+12；g（x）=（x+a）^m（a≠1，a∈R），定义：F（x）=f（x）-g（x）．
（1）当a=-1时，F（x）的表达式．
（2）当x∈[0，1]时，F（x）的最大值为-65，求a的值．

Answer

（1）先确定n，m的值，进而可得函数解析式；
（2）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用F（x）的最大值为-65，即可求a的值．
【解析】
∵f（x）=（x+1）n，f（）=17+12，∴n=4  …（2分）
又∵，∴m=4，
∴F（x）=（x+1）4-（x+a）4…（4分）
（1）当a=-1时，F（x）=（x+1）4-（x+a）4=8x3+8x   …（6分）
（2）∵F（x）=（x+1）4-（x+a）4=4（1-a）x3+6（1-a2）x2+4（1-a3）x+1-a4
∵F′（x）=12（1-a）x2+12（1-a2）x+4（1-a3）    …（8分）
△=[12（1-a2）]2-4•12（1-a）•4（1-a3）=-48（1-a）4＜0       （a≠1）
①当1-a＞0时，F′（x）＞0，F（x）为增函数．
∵x∈[0，1]
∴F（1）=-65∴2 4-（1+a）4=-65
∴1+a=±3
∴a=-4或a=2（舍去）
②当1-a＜0时，F′（x）＜0，F（x）为减函数．
∴F（0）=-65，∴14-a4=-65
∴a=a=-（舍去）
综上：a=或a=-4   …（12分）