Question

已知等差数列{a_n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a_n与x轴和指数函数的图象分别交于点A_n与B_n（如图所示），记B_n的坐标为（a_n，b_n），直角梯形A₁A₂B₂B₁、A₂A₃B₃B₂的面积分别为s₁和s₂，一般地记直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的面积为s_n．
（1）求证数列{s_n}是公比绝对值小于1的等比数列；
（2）设{a_n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b_n，b_n+1，b_n+2为边长的三角形？并请说明理由；
（3）（理科做，文科不做）设{a_n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s_n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：2¹⁰=1024）

Answer

（1）an=p+（n-1）d，直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的两底长度AnBn=f（an），An+1Bn+1=f（an+1）．高为AnAn+1 =d，利用梯形面积公式表示出sn．利用等比数列定义进行证明即可．
（2）an=-1+（n-1）=n-2，bn=（）n-2，以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，则bn+2+bn+1＞bn考查次不等式解的情况作解答．
（4）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为 S=＞2010，探讨p的存在性．
【解析】
（1）由等差数列通项公式可得an=p+（n-1）d，
…（2分）
，
对于任意自然数n，=，
所以数列{sn}是等比数列且公比，因为d＞0，所以|q|＜1．…（5分）
（写成，得公比也可）
（2）an=p+（n-1）=n+p-1，，对每个正整数n，bn＞bn+1＞bn+2
若以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，则bn+2+bn+1＞bn，
即，令n=-1，得1+2＞4，这是不可能的．
所以对每一个正整数n，以bn，bn+1，bn+2为边长不能构成三角形．…（10分）
（3）（理科做，文科不做），所以=
如果存在p使得，即
两边取对数得：p＜-log21340，
因此符合条件的p值存在，log21340≈10.4，可取p=-11等．…（14分）
说明：通过具体的p值，验证也可．