Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面节ABCAA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点．
（I）求证：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）若E为BC₁的中点，求证：OE∥平面A₁AB；
（III）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）由题意可知：平面AA1C1C⊥平面ABC，根据平面与平面垂直的性质定理可以得到，只要证明A1O⊥AC就行了；
（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面A1AB的法向量，证明OE与法向量垂直即可；
（III）利用向量的夹角公式，即可求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=AC=1，
所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A1（0，0，），C1（-2，0，），E（-1，，）
则有：=（-1，，）
设平面A1AB的法向量为=（x，y，z），则由，可得
故可取
∴
∵OE⊄平面A1AB
∴OE∥平面A1AB；
（III）【解析】
∵C（-1，0，0），∴=（-1，0，-）
∵平面AA1B的一个法向量为
∴|=||=
∵因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量与所成锐角互余，
∴sinθ=