Question

已知点A、B分别是椭圆=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=，S_△ABC=．动直线，l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当λ取何值时，△MNO的面积最大，并求出这个最大值．

Answer

（I）由离心率及三角形的面积联立方程组，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（II）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，确定P的坐标，利用P在椭圆上，即可求λ的取值范围；
（III）求出|MN|，点O到直线MN的距离，利用面积公式，结合基本不等式，即可求△MNO面积．
【解析】
（I）由题意，，∴
∴椭圆的方程为；
（II）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
设点M、N的坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x，y），则
x1+x2=-，x1x2=
∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=
（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0．
（2）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0，
∵，∴（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x，y），
∴x1+x2=λx，y1+y2=λy，
∴x=-，y=
∵P在椭圆上，
∴
化简，得4m2（1+2k2）=λ2（1+2k2）2．
∵1+2k2≠0，
∴有4m2=λ2（1+2k2）．…①
又∵△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（1+2k2-m2），
∴由△＞0，得1+2k2＞m2．…②
将①、②两式，∵m≠0，∴λ2＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2；
（III）由题意，|MN|=，点O到直线MN的距离d=
∴S△MNO===
由①得，代入上式并化简可得S△MNO=
∵=2
∴S△MNO≤
当且仅当λ2=4-λ2，即时，等号成立
∴当时，△MNO的面积最大，最大值为．