Question

如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；
（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）证明CD⊥平面PAC，证明PA⊥CD，AC⊥CD即可；
（Ⅱ）解法一：连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，证明平面BFG∥平面ACE，即可证得BF∥平面ACE；
解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则证明BF∥OH，即可证得BF∥平面ACE；
（Ⅲ）确定∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，即可求得直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．
（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为直角梯形ABCD中，，
所以AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，
又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；…（4分）
（Ⅱ）解法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，则在△PCE中，FG∥CE，
又EC⊂平面ACE，FG⊄平面ACE，所以FG∥平面ACE，
因为BC∥AD，所以，则OE∥BG，
又OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，所以BG∥平面ACE，
又BG∩FG=G，所以平面BFG∥平面ACE，
因为BF⊂平面BFG，所以BF∥平面ACE．…（10分）
解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，
连接FD交CE于H，连接OH，则FG∥CE，
在△DFG中，HE∥FG，则，
在底面ABCD中，BC∥AD，所以，
所以，故BF∥OH，又OH⊂平面ACE，BF⊄平面ACE，
所以BF∥平面ACE．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，
在Rt△PCD中，，
所以，
所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为．…（14分）