Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为T_n，求证：．

Answer

（1）依题意，可由求得其首项与公差，继而可求得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）可得Sn=2n2+4n，用裂项法可求得=（-），从而可求得Tn-=-（+），利用递增函数的定义再证明数列{Tn}是递增数列，即可证得结论．
【解析】
（1）∵数列{an}是等差数列，
∴an=a1+（n-1）d，Sn=na1+．…（1分）
依题意，有即…（3分）
解得a1=6，d=4．…（5分）
∴数列{an}的通项公式为an=4n+2（n∈N*）．…（6分）
（2）证明：由（1）可得Sn=2n2+4n．…（7分）
∴===（-）．…（8分）
∴Tn=+++…++
=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]…（9分）
=（1+--）
=-（+）．…（10分）
∵Tn-=-（+）＜0，
∴Tn＜．…（11分）
∵Tn+1-Tn=（-）＞0，所以数列{Tn}是递增数列．…（12分）
∴Tn≥T1=．…（13分）
∴≤Tn＜．…（14分）