Question

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：．

Answer

（I）由于数列{an}是公差为2的等差数列，且a1+1，a3+1，a7+1成等比数列，设该数列的首项为a1，利用条件建立方程即可求解；
（II）由（I）可知an的式子，再有，求出bn的通项公式为：，此通项公式为分式且分母属于等差数列的相邻两项，应选择裂项相消的求和方法．
【解析】
（I）设等差数列{an}的首项为a1，因为a1+1，a3+1，a7+1成等比数列，所以有
         （a3+1）2=（a1+1）（a7+1），即（a1+5）2=（a1+1）（a1+13），
        解得：a1=3，所以an=3+2（n-1）=2n+1；
（II）证明：由（I）知：an=2n+1，所以
      =，
所以==．