Question

已知函数，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，+∞）时，恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）求导函数，利用x=2是f（x）的一个极值点，可得f'（2），从而可求b的值，进而利用f'（x）＞0可得函数f（x）的单调增区间，f'（x）＜0可得函数f（x）的单调减区间；
（2）x∈[1，+∞）时，恒成立等价于，由此可求a的取值范围．
【解析】
（1）求导函数，可得f'（x）=x2-2bx+2
∵x=2是f（x）的一个极值点
∴f'（2）=4-4b+2=0，∴，--------------------------------------------（2分）
∴f'（x）=x2-3x+2=（x-1）（x-2）------------------------------------------（4分）
由f'（x）＞0得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞）；------（6分）
由f'（x）＜0得1＜x＜2，∴函数f（x）的单调减区间为（1，2），---------------------（8分）
（2）由（1）知，函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（x）min=f（2）=，------------------（10分）
x∈[1，+∞）时，恒成立等价于-----------（12分）
即a2-a＜0，
∴0＜a＜1．----------------------------------------------------（14分）