Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=1，AB=2，CD=3，E、F分别为线段CD、AB上的点，且EF∥AD．将梯形沿EF折起，使得平面ADEF⊥平面BCEF，折后BD与平面ADEF所成角正切值为．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BCEF与平面ABD所成二面角（锐角）的大小．

Answer

（Ⅰ）设DE=a，则BE=，易得tan∠DBE==，可解得a=1，可得F为AB的中点，可得BC⊥BE，BC⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）取BC中点可证∠DME即平面BCEF与平面ABD所成的二面角，在三角形中可得角的大小．
证明：（Ⅰ）∵DE⊥EF，平面ADEF⊥平面BCEF，∴DE⊥平面BCEF，
∴∠DBE是BD与平面ADEF所成的角，∴tan∠DBE=，
设DE=a，则BE=，由tan∠DBE===，可解得a=1，
∴F为AB的中点，可得BC⊥BE，又DE⊥平面BCEF，可得BC⊥DE，
又BE∩DE=E，∴BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）取BC中点M，连接MB、MD，易知MB∥AD，∴平面ABMD即平面ABD，
∵DE⊥平面BCEF，∴DE⊥MB，∴MB⊥平面CDE，可得DM⊥BM，
又MB⊥EC，∴∠DME即平面BCEF与平面ABD所成的二面角，
由DE=EM=1可得∠DME=45°
故平面BCEF与平面ABD所成二面角为45°