Question

已知圆O：，直线l：y=kx+m与椭圆C：相交于P、Q两点，O为原点．
（Ⅰ）若直线l过椭圆C的左焦点，且与圆O交于A、B两点，且∠AOB=60°，求直线l的方程；
（Ⅱ）如图，若△POQ重心恰好在圆上，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用圆心O到直线l的距离d==即可求得k，从而可得直线l的方程；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，利用韦达定理可求得x1+x2=-，又△POQ重心恰好在圆x2+y2=上，可求得+=4，化简可求得m2=，△＞0⇒1+2k2＞m2，二者联立即可求得m的范围．
【解析】
（Ⅰ）左焦点坐标为F（-1，0），设直线l的方程为y=k（x+1），由∠AOB=60°得，圆心O到直线l的距离d=，
又d=，
∴=，解得k=±．
∴直线l的方程为y=±（x+1）．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
由△＞0得：1+2k2＞m2…（⊕），且x1+x2=-．
∵△POQ重心恰好在圆x2+y2=上，
∴+=4，
即+=4，即（1+k2）+4km（x1+x2）+4m2=4．
∴-+4m2=4，化简得：m2=，代入（⊕）式得：k≠0，
又m2==1+=1+．
∵k≠0，
∴m2＞1，
∴m＞1或m＜-1．