Question

已知．
（Ⅰ）判断曲线y=f（x）在x=0的切线能否与曲线y=e^x相切？并说明理由；
（Ⅱ）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（Ⅲ）若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），求证：．

Answer

（Ⅰ）求出曲线y=f（x）在x=0的切线方程，假设切线与曲线y=ex相切，设出切点，由斜率相等及切点在切线上联立推出矛盾；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导函数，由导函数的零点对定义域分段，利用函数的单调性求出函数在[a，2a]上的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数f（x）先增后减，有最大值，若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），则最大值大于0，又f（a）＞0且a＜alna，所以得到x2-x1＞alna-a，把x1，x2代入原函数得到，，作比后利用放缩可证得要求证的不等式．
（Ⅰ）【解析】
由，得：，则，f（0）=-1．
∴曲线y=f（x）在x=0的切线l的方程为．
若l与曲线y=ex相切，设切点为（x，y），则①．
由a＞0，得：0＜，∴x＜0，
由①得．与x＜0矛盾．
∴曲线y=f（x）在x=0的切线不能与曲线y=ex相切．
（Ⅱ）【解析】
令f′（x）=0，得，即x=alna．
由f′（x）＞0，得x＜alna，由f′（x）＜0，得：x＞alna．
∴f（x）在（-∞，alna]上为增函数，在[alna，+∞）上为减函数．
∴当a＞alna，即a＜e时，f（x）max=f（a）=a-e．
当a≤alna≤2a，即e≤a≤e2时，f（x）max=f（alna）=alna-a．
当2a＜alna，即a＞e2时，．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知f（x）max=f（alna）=alna-a．
∵f（x1）=f（x2）=0，∴f（x）max=f（alna）=alna-a＞0．
∴lna＞1，得：a＞e，∴f（a）=a-e＞0，且f（alna）＞0．
得x2-x1＞alna-a，又，，
∴．