Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，对x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0时，有，若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值范围是    ．

Answer

利用函数单调性的定义证明函数f（x）是[-1，1]上的增函数，根据函数f（x）≤m2+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
【解析】
任取x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）
∵，
即，∴
∵x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0．
∴f（x）是[-1，1]上的增函数，
要使f（x）≤m2+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只须f（x）max≤m2+2am+1，即1≤m2+2am+1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m2+2am≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．令g（a）=2ma+m2，
只须，解得m≤-2或m≥2或m=0，
故答案为m≤-2或m≥2或m=0．