Question

已知函数f（x）=x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数g（x）=-2lnx，试判断函数g（x）在（1，+∞）上的符号，并证明：lnn+（1+）≤（n∈N^*）．

Answer

（Ⅰ）根据极值的信息，则选用导数法，先求f'（x），再由f（x）有极值，可有=a2-4b＞0，又由在x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行，可得f'（-1）=1-a+b=1从而求解．
（Ⅱ）存在．令f′（x）=0得到函数的两个稳定点，然后分区间讨论函数的增减性，得到函数的极小值令其等于1，讨论得到a的值存在，求出a即可；
（Ⅲ）求得g（x）=x--2lnx，利用导数工具g（x）在（1，+∞）上是增函数，故g（x）＞g（1）=0，设x=，
则g（）=--2ln=1+-1+-2[ln（n+1）-lnn]=+-2[ln（n+1）-lnn]＞0，即+＞2[ln（n+1）-lnn]，再利用累加法进行证明即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f′（x）=x2+2ax-b，∴f′（1）=1+2a-b，
又因为函数在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，所以在x=1处的切线的斜率等于1，∴f′（1）=1∴b=2a①
∵f（x）有极值，故方程f′（x）=x2+2ax-b=0有两个不等实根∴△=4a2+4b＞0∴a2+b＞0②
由①．②可得，a2+2a＞0∴a＜-2或a＞0
故实数a的取值范围是a∈（-∞，-2）∪（0，+∞）
（（Ⅱ）存在a=-…（5分）
由（1）可知f′（x）=x2+2ax-b，令f′（x）=0∴x1=-a-，x2=-a+

∴f（x）极小=f（x2）=x23+ax22-2ax2+1=1，
∴x2=0或x22+3ax2-6a=0
若x2=0，则-a+=0，则a=0（舍），
若x22+3ax2-6a=0，又f′（x2）=0，∴x22+2ax2-2a=0，
∴ax2-4a=0
∵a≠0∴x2=4
∴-a+=4，
∴a=-＜2∴存在实数a=-，使得函数f（x）的极小值为1．
（Ⅲ）由g（x）=-2lnx=-2lnx=x--2lnx
故g′（x）=1+==＞0，
则g（x）在（1，+∞）上是增函数，故g（x）＞g（1）=0，
所以，g（x）在（1，+∞）上恒为正．
当n是正整数时，＞1，设x=，则
g（）=--2ln
=1+-1+-2[ln（n+1）-lnn]
=+-2[ln（n+1）-lnn]＞0，
即+＞2[ln（n+1）-lnn]
上式分别取n的值为1、2、3、…、n-1（n＞1）累加得：
（）+（）+（）+…+
＞2[ln2-ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+…lnn-ln（n-1）]
∴1+2（）＞2lnn
2（1+）＞2lnn+1+
∴1+）＞lnn+（1+）
即lnn+（1+）＜，（n＞1）
又当n=1时，lnn+（1+）=，
故lnn+（1+）≤，当且仅当n=1时取等号．