Question

已知三棱锥A-BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S₁和S₂．设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=    ．

Answer

作出三棱锥A-BCD，过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD，在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE，从而得到二面角
A-BC-D的平面角，把三棱锥的高AH用体积和底面积表示，把斜高用△ABC的面积和边BC的长度表示，在直角三角形AHE中可求角α的正弦值．
【解析】
如图，过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD，
在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE，
根据三垂线定理可知，HE⊥BC，
所以∠AEH是二面角A-BC-D的平面角，则∠AEH=α，
由已知S△BCD=S2，三棱锥A-BCD的体积为V=，AH=，
，AE=2，
sinα===．
所以面ABC和面DBC所成二面角的正弦值为．
故答案为．