Question

求同时满足下列两个条件的所有复数z：
①z+是实数，且1＜z+≤6；
②z的实部和虚部都是整数．

Answer

根据题意，对于①从整体角度思考，可视z+为一个整体t，进行整体换元，得到 z2-tz+10=0，对于②利用求根公式解出 z，再利用z的实部和虚部都是整数，求出t，即得满足条件的复数z．
【解析】
设z+=t，则 z2-tz+10=0．∵1＜t≤6，∴△=t2-40＜0，
解方程得 z=± i．
又∵z的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6，
故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或 z=3±i．