Question

对于非空实数集A，记A^*={y|∀x∈A，y≥x}．设非空实数集合M⊆P，若m＞1时，则m∉P． 现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有P^*⊆M^*；
②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M^*∩P≠∅；
③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M∩P^*=∅；
④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数a，使得对任意的b∈M^*，恒有a+b∈P^*；
其中正确的命题是    （写出所有正确命题的序号）

Answer

由A*={y|∀x∈A，y≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．进而可通过举例否定②③，对于①④还需要利用集合间的关系去证明．
【解析】
由A*={y|∀x∈A，y≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．
①分别用Amax、Amin表示集合A的所有元素（数）的最大值、最小值．
由M⊆P及A*的定义可知：Mmax≤，Pmax≤，Pmax，∴≤，∴必有P*⊆M*．故①正确．
②若设M=（-∞，1）=P，满足M⊆P，而M*=[1，+∞），此时M*∩P=∅，故②不正确．
③若设M=（-∞，1]=P，满足M⊆P，而P*=[1，+∞），此时M∩P*={1}≠∅．
④由①可知：对于M⊆P，必有P*⊆M*；取a=-，则对于任意的b∈M*，必恒有a+b∈P*．
故正确命题是①④．