Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N^*）．对于A的一个子集S，若S满足性质P：“存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m”，则称S为理想集．对于下列命题：
①当n=10时，集合B={x∈A|x＞9}是理想集；
②当n=10时，集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}是理想集；
③当n=1 000时，集合S是理想集，那么集合T={2 001-x|x∈S}也是理想集．
其中的真命题是    （写出所有真命题的序号）．

Answer

利用理想集的定义，分别求出当n=10，n=1000时对应集合的理想集进行判断．
【解析】
①当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P，因为对任意不大于10的正整数m，
  都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m，使得|b1-b2|=m成立．所以①错误．
②集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}具有性质P．因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1，c2=3k2-1，k1，k2∈N*
都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1．所以②正确．
③当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}，若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．

因为T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x∈T，其中x∈S，
因为S⊆A，所以x∈{1，2，3，…，2000}，
从而1≤2001-x≤2000，即t∈A，所以T⊆A．
由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，
使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m．
对于上述正整数m，从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t1=2001-x1，t2=2001-x2，其中x1，x2∈S，
则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P．所以③正确．
故答案为：②③．