Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：
①
②M={（x，y）|y=e^x-2}
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“好集合”的序号是（ ）
A．①②④
B．②③
C．③④
D．①③④

Answer

对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．
对于②，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；
对于③，画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；
对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足好集合定义．
【解析】
对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，
在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；
对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
所以不满足好集合的定义，不是好集合．
对于②M={（x，y）|y=ex-2}，如图（2）在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，-1），N（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确．
对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
例如（0，1）、（，0），∠yox=90°，满足好集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的点，
所以集合M是好集合；
对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合．
故选B．