Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）设AB的中点为Q，求证：PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角M-BD-C的大小为60°，求的值．

Answer

（I）由Q为侧面正三角形PAB的边AB的中点，可得PQ⊥AB，再利用面面垂直的性质定理即可证明线面垂直；
（II）通过结论空间直角坐标系，利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得出；
（III）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角，进而解出．
（Ⅰ）证明：∵侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q，∴PQ⊥AB，
∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，PQ⊂侧面PAB，
∴PQ⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接AC，设AC∩BD=O，建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），，C（0，1，0），，，
，平面ABCD的法向量，
设斜线PD与平面ABCD所成角的为α，
则．
（Ⅲ）设=，
则M，=，，
设平面MBD的法向量为，
则，，
取，得，又平面ABCD的法向量．
∴，∴，
解得t=2（舍去）或．
所以，此时=．