Question

已知函数（a∈R）．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．

Answer

（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0，求出函数的减区间
（Ⅱ）a＜0时，用导数研究函数f（x）在[1，e]上的单调性确定出最小值，借助（Ⅰ）的结论，由于参数的范围对函数的单调性有影响，故对其分类讨论，
【解析】
函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
（Ⅰ），…（4分）
（1）当a=0时，f'（x）=x＞0，所以f（x）在定义域为（0，+∞）上单调递增； …（5分）

（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=-2a（舍去），x2=a，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
此时，f（x）在区间（0，a）单调递减，
在区间（a，+∞）上单调递增；          …（7分）

（3）当a＜0时，令f'（x）=0，得x1=-2a，x2=a（舍去），
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
此时，f（x）在区间（0，-2a）单调递减，
在区间（-2a，+∞）上单调递增．…（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a＜0时，f（x）在区间（0，-2a）单调递减，在区间（-2a，+∞）上单调递增．…（10分）
（1）当-2a≥e，即时，f（x）在区间[1，e]单调递减，
所以，；                     …（11分）
（2）当1＜-2a＜e，即时，f（x）在区间（1，-2a）单调递减，
在区间（-2a，e）单调递增，所以，…（12分）
（3）当-2a≤1，即时，f（x）在区间[1，e]单调递增，
所以．…（13分）