Question

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜0），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|ϕ（2x₁）-ϕ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=，x∈[2，4]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x∈（1，2），使得x=φ（2x），那么这样的x是唯一的；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取x_n∈（1，2），令x_n+1=φ（2_nx），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式成立．

Answer

（Ⅰ）利用已知条件，通过φ（x）=，x∈[2，4]，转化不等式，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）利用反证法，推出L≥1，矛盾，什么原命题正确；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取xn∈（1，2），令xn+1=φ（2nx），n=1，2，…，给定正整数k，对任意的正整数p，利用放缩法证明不等式成立即可．
（本小题满分13分）
【解析】
（Ⅰ）对任意x∈[1，2]，φ（2x）∈（1，2）；x∈[1，2]，
φ（2x）≤，1＜φ（2x）≤＜2，所以φ（2x）∈（1，2）；．
对任意的x1，x2∈[1，2]，|ϕ（2x1）-ϕ（2x2）|=|x1-x2|
3＜，
所以0＜＜，
≤L|x1-x2|，
令，0＜L＜1，
|ϕ（2x1）-ϕ（2x2）|≤L|x1-x2|，所以φ（x）∈A．…（5分）
（Ⅱ）反证法：设存在两个x，x′∈（1，2），x≠x′使得x′=φ（2x′），
则由|φ（2x）-φ（2x′）|≤L|x-x′|，得）|x-x′|≤L|x-x′|，所以L≥1，矛盾，故结论成立．…（8分）
（Ⅲ）|x3-x2|=|ϕ（2x2）-ϕ（2x1）|≤L|x2-x1|，
所以|xn+1-xn|=|ϕ（2xn）-ϕ（2xn-1|≤L|xn-xn-1|≤L2|xn-1-xn-2|…
≤Ln-1|x2-x1||xk+p-xk|=|（xk+p-xk+p-1）+（xk+p-1-xk+p-2）+…+（xk+1-xk）|
≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|
≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x2-x1|
=．…（13分）