Question

已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足．
（Ⅰ）证明：b+c=2a；
（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）由题意知，解之可得ω，代入已知条件化简可得sinC+sinB=2sinA，再由正弦定理可得b+c=2a；
（Ⅱ）由条件和（Ⅰ）的结论可得△ABC为等边三角形，可得，可化简为，由θ的范围可得结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意知：，解得…（2分）
∵，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA…（4分）
∴sinC+sinB=2sinA，
∴b+c=2a…（6分）
（Ⅱ）因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形，
∴…（8分）
=…（9分）
==，…（10分）
∵θ∈（0，π），∴，
当且仅当，即时取最大值，SOACB的最大值为…（12分）