Question

如图，几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B₁C₁D₁∥面ABCD，BB₁、CC₁、DD₁都垂直于面ABCD，且，E为CC₁的中点，F为AB的中点．
（Ⅰ）求证：△DB₁E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角B₁-DE-F的余弦值．

Answer

（Ⅰ）由已知条件，在直角三角形DBB1，B1C1E，DCE中分别求出DB1，B1E，DE的长度，由边的关系能够证出
△DB1E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所以OH∥BB1，以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，求出两个平面DB1E和DFE的法向量，根据二面角与其法向量所成角的关系求二面角B1-DE-F的余弦值．
（I）证明：连接BD，交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以BD=a
因为BB1、CC1都垂直于面ABCD，∴BB1∥CC1，又面B1C1D1∥面ABCD，∴BC∥B1C1
所以四边形BCC1B1为平行四边形，则B1C1=BC=a
因为BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，则，
所以
所以△DB1E为等腰直角三角形；        
（II）【解析】
取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所以OH∥BB1
以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，
则
所以
设面DB1E的法向量为，
则，即且
令z1=1，则
设面DFE的法向量为，
则即且
令x2=1，则
则=，则二面角B1-DE-F的余弦值为．