Question

已知n∈N^*，数列{d_n}满足，数列{a_n}满足a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n；又知数列{b_n}中，b₁=2，且对任意正整数m，n，．
（Ⅰ）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）将数列{b_n}中的第a₁项，第a₂项，第a₃项，…，第a_n项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c_n}，求数列{c_n}的前2013项和．

Answer

（I）由，代入分组求和，然后结合等差数列的求和公式可求an，然后可求bn
（Ⅱ）由题知新数列{cn}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1=2，b2=4公比均是8，结合等比数列的求和公式分组求和即可求解
【解析】
（I）∵，
∴an=d1+d2+d3+…+d2n=
==3n…（3分）
又由题知：令m=1，则，……（5分）
若，则，，所以恒成立
若，当m=1，不成立，所以…（6分）
（Ⅱ）由题知将数列{bn}中的第3项、第6项、第9项…删去后构成的新数列{cn}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1=2，b2=4公比均是8，…（9分）
∴T2013=（c1+c3+c5+…+c2013）+（c2+c4+c6+…+c2012）
=…（12分）