Question

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC₁的中点．
（1）求异面直线A₁D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求直线A₁B₁到平面DAB的距离．

Answer

（1）可通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求向量的夹角来求异面直线所成的角；或通过作平行线，再解三角形求解；
（2）根据转化思想，线面距离转化为点到平面的距离，再利用三棱锥的换底性求解．
【解析】
（1）方法一：
以A1B1中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．
由题意得
则
设θ为向量的夹角，，
∴异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos．
方法二：取B1B中点E，连结A1E，DE．∵DE∥CB
∴∠A1DE为异面直线A1D与BC所成的角．
在Rt△A1B1E中，；在Rt△A1C1D中，；
．
∴异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos．
（2）∵AB∥A1B1，∴A1B1∥平面ABD，
∴A1B1到平面DAB的距离即为A1到平面DAB的距离，设为h．
由题意得，
等腰△ADB底边AB上的高为，，则，
且D到平面ABB1A1的距离为，
由得
×S△ABD•h=××，
∴，
∴直线A1B1到平面DAB的距离为．