Question

已知数列的前n项和为S_n，数列是首项为0，公差为的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，对任意的正整数k，将集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求证：数列{d_k}为等比数列；
（3）对（2）题中的d_k，求集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数．

Answer

（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用（1）得出bn，从而得出b2k，b2k-1，b2k+1依次成递增的等差数列，求出dk=b2k+1-b2k-1，利用等比数列的定义即可判断出结论；
（3）对k分奇数、偶数讨论，利用二项式定理展开，即可得出集合元素的个数．
【解析】
（1）由条件得，即，
∴．
（2）由（1）可知
∴，，，
由2b2k-1=b2k+b2k+1及b2k＜b2k-1＜b2k+1得b2k，b2k-1，b2k+1依次成递增的等差数列，
所以，
满足为常数，所以数列{dk}为等比数列．
（3）①当k为奇数时，
同样，可得，
所以，集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数为=；
②当k为偶数时，同理可得集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数为