Question

f（x）和g（x）都是定义在集合M上的函数，对于任意的x∈M，都有f（g（x））=g（f（x））成立，称函数f（x）与g（x）在M上互为“H函数”．
（1）若函数f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）与g（x）互为“H函数”，证明：f（n）=g（b）
（2）若集合M=[-2，2]，函数f（x）=x²，g（x）=cosx，判断函数f（x）与g（x）在M上是否互为“H函数”，并说明理由．
（3）函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1），g（x）=x+1在集合M上互为“H函数”，求a的取值范围及集合M．

Answer

（1）由f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）与g（x）互为“H函数”，知f（g（x））=g（f（x））成立．即ag（x）+b=mf（x）+n恒成立，由此能够证明f（n）=g（b）．
（2）假设函数f（x）与g（x）互为“H函数”，则对于任意的x∈M，f（g（x））=g（f（x））恒成立．即cosx2=cos2x，对于任意x∈[-2，2]恒成立，由此能推导出在集合M上，函数f（x）与g（x）不是互为“H函数”．
（3）由题意得，ax+1=ax+1（a＞0且a≠1），变形得ax（a-1）=1，由于a＞0且a≠1，由此能求出a的取值范围及集合M．
（1）证明：∵f（x）=ax+b，
g（x）=mx+n，f（x）与g（x）互为“H函数”，
∴对于∀x∈R，f（g（x））=g（f（x））成立．
即ag（x）+b=mf（x）+n恒成立…（2分）
∴max+an+b=amx+mb+n，…（2分）
∴an+b=mb+n，
∴f（n）=g（b）．…（1分）
（2）【解析】
假设函数f（x）与g（x）互为“H函数”，
则对于任意的x∈Mf（g（x））=g（f（x））恒成立．
即cosx2=cos2x，对于任意x∈[-2，2]恒成立…（2分）．
当x=0时，cos0=cos0=1．
不妨取x=1，则cos12=cos1，所以cos1≠cos21…（2分）
所以假设不成立，在集合M上，
函数f（x）与g（x）不是互为“H函数”…（1分）．
（3）【解析】
由题意得，ax+1=ax+1（a＞0且a≠1）…（2分）
变形得，ax（a-1）=1，
由于a＞0且a≠1，
因为ax＞0，所以，即a＞1…（2分）
此时x=-loga（a-1），
集合M={x|x=-loga（a-1），a＞1}…（2分）