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在平面直角坐标系xOy中,点An满足,且;点Bn满足,且,其中n∈N*. (1)...

在平面直角坐标系xOy中,点An满足manfen5.com 满分网,且manfen5.com 满分网;点Bn满足manfen5.com 满分网,且manfen5.com 满分网,其中n∈N*
(1)求manfen5.com 满分网的坐标,并证明点An在直线y=x+1上;
(2)记四边形AnBnBn+1An+1的面积为an,求an的表达式;
(3)对于(2)中的an,是否存在最小的正整数P,使得对任意n∈N*都有an<P成立?若存在,求P的值;若不存在,请说明理由.
(1)利用向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式即可证明; (2)利用向量的运算法则和逐差累和即可求得点Bn的坐标,及-即可求出. (3)利用(2)的结论及作差法,求出an+1-an,进而即可判断出答案. 【解析】 (1)由已知条件得,,=,∴, ∵,∴ 设,则xn+1-xn=1,yn+1-yn=1 ∴xn=0+(n-1)•1=n-1;yn=1+(n-1)•1=n. 即An=(n-1,n)满足方程y=x+1,∴点An在直线y=x+1上. (2)由(1)得An(n-1,n),, 设Bn(un,vn),则u1=3,v1=0,vn+1-vn=0,∴vn=0, ,逐差累和得,, ∴. 设直线y=x+1与x轴的交点P(-1,0),则an=,n∈N*. (3)由(2)an=,n∈N* , 于是,a1<a2<a3<a4=a5,a5>a6>a7>… 数列{an}中项的最大值为,则,即最小的正整数p的值为6, 所以,存在最小的自然数p=6,对一切n∈N*都有an<p成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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