Question

如图：已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=，M是CC₁的中点．求证：AB₁⊥A₁M．

Answer

要证，只要A1M⊥AC1，B1C1⊥AC1 即证MA1⊥AB1C1，从而可证AB1⊥A1M
证明：连接AC1
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，
∴=
Rt△A1C1M中，tan∠A1MC1==
Rt△AA1C1中，tan∠AC1A1==
∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1 即∠AC1A1=∠A1MC1     
∴A1M⊥AC1
∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1
∴B1C1⊥平面AA1C1且MA1⊂面AA1C1
∴B1C1⊥MA1，又AC1∩B1C1是=C1
根据线面垂直的判定定理可知MA1⊥平面AB1C1
∴AB1⊥A1M