Question

已知函数．
（Ⅰ）证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞．

Answer

（Ⅰ）设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，而f（x）==1-，利用作差证明f（x2）＞f（x1）即可；
（Ⅱ）要证f（n）＞（n∈N，n≥3），即要证1-，即要证2n-1＞2n（n≥3）．用数学归纳法即可证明；
（Ⅰ）证明：设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，
f（x）==1-，
f（x2）-f（x1）==，
由指数函数性质知，＞0，＞0，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）要证f（n）＞（n∈N，n≥3），即要证1-，
即要证2n-1＞2n（n≥3）．①
现用数学归纳法证明①式．
（1）当n=3时，左边=23-1=7，右边=2×3=6，
∴左边＞右边，因而当n=3时①式成立．
（2）假设当n=k（k≥3）时①式成立，即有2k-1＞2k，那么
2k+1-1=2•2k-1=2（2k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+（2k-1），
∵k≥3，∴2k-1＞0．
∴2k+1-1＞2（k+1）．
这就是说，当n=k+1时①式成立．
根据（1）（2）可知，①式对于任意不小于3的自然数n都成立．
由此有f（n）＞．（n≥3，n∈N）．