Question

已知动点P到两定点A、B的距离和为8，且|AB|=4，线段AB的中点为O，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有（ ）
A．5条
B．6条
C．7条
D．8条

Answer

根据题意，P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，得到它的方程为．根据椭圆的几何性质，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段，其长度介于2b与2a之间，由此即可算出长度为整数的条数．
【解析】
∵|AB|=4＜8，动点P到两定点A、B的距离和为8，
∴P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，得
2a=8，2c=4，可得b==2
∴椭圆的方程为
因此，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段，
其长度l∈[2b，2a]，即l∈[4，8]，
长度为整数的有4、5、6、7、8，共5条
故选：A