Question

已知各项为正的数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，log₂a_n+1+log₂a_n=n（n∈N^*），则a₁+a₂+…+a₂₀₁₃-2¹⁰⁰⁸=    ．

Answer

根据对数的运算性质，结合题意算出an+1an=2n，从而证出{an}的奇数项、偶数项分别构成以2为公比的等比数列，由此结合等比数列的求和公式即可算出所求式子的值．
【解析】
∵log2an+1+log2an=n
∴log2（an+1an）=n=log22n，可得an+1an=2n
由此可得an+1an+2=2n+1，得
∴a1、a3、…a2013和a2、a4、…、a2012分别构成以2为公比的等比数列
则a1+a3+…+a2013==21007-1；a2+a4+…+a2012==21007-2
∴a1+a2+…+a2013-21008
=（21007-1）+（21007-2）-21008=2•21007-3-21008=21008-3-21008=-3
故答案为：-3