满分5 > 高中数学试题 >

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,...

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°
(Ⅰ)求证:BD⊥PC;
(Ⅱ)若PA=AB,求二面角A-PD-B的余弦值.

manfen5.com 满分网
(I)由菱形的性质,得AC⊥BD,由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD.结合线面垂直判定定理得BD⊥平面PAC,从而得到BD⊥PC; (II)过点B作BM⊥AD于M,则BM⊥平面PAD.然后在平面PAD内过M作MN⊥PD于N,连BN,可得PD⊥平面BMN,结合二面角平面角的定义,得到∠BNM为二面角A-PD-B的平面角.再利用解直角三角形的知识,Rt△BMN中算出MN、BN的长,可得,即可得到PA=AB时二面角A-PD-B的余弦值. 【解析】 (Ⅰ)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD. 又∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, ∴PA⊥BD. 又∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC. ∵PC⊂平面PAC,∴BD⊥PC…(6分) (Ⅱ)依题意,知平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD与平面ABCD的交线为AD, 过点B作BM⊥AD,垂足为M,则BM⊥平面PAD. 在平面PAD内过M作MN⊥PD,垂足为N,连BN, 则PD⊥平面BMN, ∴∠BNM为二面角A-PD-B的平面角.…(9分) ∵AB=AD,∠BAD=60°, ∴,DM=1.…(10分) 又∵PA=AB,得,∴.…(11分) ∴Rt△BMN中,. 即二面角A-PD-B的余弦值为.…(12分)
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,a2=b2+c2+bc.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=2manfen5.com 满分网,b=2,求c的值.
查看答案
已知各项为正的数列{an}中,a1=1,a2=2,log2an+1+log2an=n(n∈N*),则a1+a2+…+a2013-21008=    查看答案
已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在以O为球心的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,若三棱锥S-ABC的体积为manfen5.com 满分网,则球O的表面积为    查看答案
三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况,若每个村最多去2个人,则不同的分配方法有    种. 查看答案
已知向量manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网为非零向量,若manfen5.com 满分网,则k=    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.