Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PA=AB，求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer

（I）由菱形的性质，得AC⊥BD，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD．结合线面垂直判定定理得BD⊥平面PAC，从而得到BD⊥PC；
（II）过点B作BM⊥AD于M，则BM⊥平面PAD．然后在平面PAD内过M作MN⊥PD于N，连BN，可得PD⊥平面BMN，结合二面角平面角的定义，得到∠BNM为二面角A-PD-B的平面角．再利用解直角三角形的知识，Rt△BMN中算出MN、BN的长，可得，即可得到PA=AB时二面角A-PD-B的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC…（6分）
（Ⅱ）依题意，知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD与平面ABCD的交线为AD，
过点B作BM⊥AD，垂足为M，则BM⊥平面PAD．
在平面PAD内过M作MN⊥PD，垂足为N，连BN，
则PD⊥平面BMN，
∴∠BNM为二面角A-PD-B的平面角．…（9分）
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴，DM=1．…（10分）
又∵PA=AB，得，∴．…（11分）
∴Rt△BMN中，．
即二面角A-PD-B的余弦值为．…（12分）