Question

已知函数f（x）=+2ex，g（x）=3e²lnx+b（x∈R⁺，e为常数，e=2.71828），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若1≤x≤e时，2[f（x）-2ex]+恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）求导函数，利用两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同，建立方程组，即可求实数b的值；
（Ⅱ）由1≤x≤e时，x2+alnx≤（a+2）x恒成立，即a（x-lnx）≥x2-2x恒成立，分离参数，求最值，即可求实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=x+2e，，
设与g（x）=3e2lnx+b的公共点为（x，y），
则有…（3分）
解得．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以．
∴由1≤x≤e时，x2+alnx≤（a+2）x恒成立，即a（x-lnx）≥x2-2x恒成立．
∵1≤x≤e，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，∴x-lnx＞0．
∴在1≤x≤e时恒成立．…（8分）
设（1≤x≤e），则．
显然x-1≥0，又lnx≤1，∴x+2-2lnx＞0．
所以h'（x）≥0（仅当x=1时取等号）．
∴在[1，e]上为增函数．…（11分）
故．
所以实数a的取值范围是．…（12分）