Question

已知函数f（x）=，g（x）=3e²lnx+b（x∈R⁺，e为常数，e=2.71828），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若x∈（0，1]时，证明：2[f（x）-2ex]+[2g（x）+e²]≤4x-3恒成立．

Answer

（I）求导数，利用这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同，建立方程组，即可求实数b的值；
（Ⅱ）要证x∈（0，1]时，x2+2lnx≤4x-3恒成立，即证x∈（0，1]时，x2-4x+3+2lnx≤0恒成立，构造函数，确定函数的单调性，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
求导数可得：f'（x）=x+2e，g′（x）=，
设f（x）=与g（x）=3e2lnx+b的公共点为（x，y），则有
 …（3分）
解得．…（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知．
所以2[f（x）-2ex]+[2g（x）+e2]=x2+2lnx．
∴要证x∈（0，1]时，x2+2lnx≤4x-3恒成立，
即证x∈（0，1]时，x2-4x+3+2lnx≤0恒成立．…（8分）
设h（x）=x2-4x+3+2lnx（0＜x≤1），则．
∵x∈（0，1]，∴h′（x）≥0（仅当x=1时取等号）．
∴h（x）=x2-4x+3+2lnx在x∈（0，1]上为增函数．…（11分）
∴h（x）max=h（1）=0．
∴x∈（0，1]时，2[f（x）-2ex]+[2g（x）+e2]≤4x-3恒成立．…（12分）