Question

选修4-1：《几何证明选讲》
已知：如图，eO为△ABC的外接圆，直线l为eO的切线，切点为B，直线AD∥l，交BC于D、交eO于E，F为AC上一点，且∠EDC=∠FDC．求证：
（Ⅰ）AB²=BD．BC；
（Ⅱ）点A、B、D、F共圆．

Answer

（I）欲证AB2=BD•BC，即证，只须证△ABC∽△DAB．根据相似三角形的判定，由于∠ABC=∠DBA，只须证明∠ACB=∠DAB即可．
（II）要证明A、B、D、F四点共圆，根据四点共圆定理只要证∠BAC+∠EDC=180°即可．
证明：（1）∵直线l为圆O的切线，∴∠1=∠ACB．
∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．
∴∠ACB=∠DAB，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DAB．
∴．
∴AB2=BD•BC．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．
∵∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，
∴∠BAC=∠FDC．∴∠BAC+∠EDC=∠FDC+∠FDB=180°．
∴点A、B、D、F共圆．…（10分）