Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连结A₁C、BD．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BD；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-BCD的体积．

Answer

（Ⅰ）利用线面垂直的性质先证明BD⊥平面A1AC，然后再证：A1C⊥BD；
（Ⅱ）根据锥体的体积公式求体积即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：连AC．
∵AB=BC，
∴BD⊥AC．                                             …（2分）
∵A1A⊥底面ABCD，
∴BD⊥A1A．                    …（4分）
∵A1A⊂平面A1AC，AC⊂平面A1AC，A1A∩AC=A，
∴BD⊥平面A1AC．              …（6分）
∴BD⊥A1C．                    …（8分）
（Ⅱ）【解析】
∵A1A⊥平面BCD，所以A1A是锥体的高，
∴==．…（14分）