Question

如图（1）是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PBD；
（Ⅱ）求证：AQ⊥平面PBD；
（Ⅲ）求二面角P-DB-M的正切值．

Answer

（I）证明四边形NDBM为平行四边形，可得MN∥DB，利用线面平行的判定，可得结论；
（II）证明AQ⊥BD，AQ⊥PB，利用线面垂直的判定定理，可得结论；
（III）解法1：分别取DB、MN中点E、F，连结PE、EF、PF，则∠PEF为二面角P-DB-M的平面角，即可求得结论；
解法2：建立空间直角坐标系，、分别为平面PDB、平面DBM的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角P-DB-M的正切值．
【解析】
MN和PB的位置如右图示：（正确标出给1分）
（Ⅰ）证明：∵ND∥MB 且ND=MB
∴四边形NDBM为平行四边形
∴MN∥DB------------------------（3分）
∵NM⊄平面PDB，DB⊂平面PDB
∴MN∥平面PBD---------------------------------（4分）
（Ⅱ）证明：∵QC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥QC-------------（5分）
又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面AQC，--------------------------（6分）
∵AQ⊂面AQC，∴AQ⊥BD，
同理可得AQ⊥PB，
∵BD∩PB=B
∴AQ⊥面PDB---------------------------------------------------------------------（8分）
（Ⅲ）解法1：分别取DB、MN中点E、F，连结PE、EF、PF------------------（9分）
∵在正方体中，PD=PB
∴PE⊥DB---------------------------------（10分）
∵四边形NDBM为矩形
∴EF⊥DB
∴∠PEF为二面角P-DB-M的平面角------------（11分）
∵EF⊥面PMN，∴EF⊥PF
设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中
∵，
∴-----（14分）
解法2：设正方体的棱长为a，
以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图示：
则点A（a，0，0），P（a，0，a），Q（0，a，a）--------------（9分）
∴，--------------（10分）
∵PQ⊥面DBM，由（Ⅱ）知AQ⊥面PDB
∴、分别为平面PDB、平面DBM的法向量-------------------（12分）
∴
∴------------------------------------------（14分）]