Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为，若x=时，y=f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer

（1）求出f′（x），由x=1时，切线l的斜率为3得，f′（1）=3；x=时，y=f（x）有极值，得f′（）=0；两者联立可解a，b值；设切线l的方程为y=3x+m，由原点到切线l的距离为，可得一方程，可得m，根据不过四象限，可确定m取舍；
（2）由（1）可得f（x）表达式，利用导数可求得函数极值、在区间端点处的函数值，对其进行比较即可得到最大值、最小值；
【解析】
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f′（x）=3x2+2ax+b，
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①
当x=时，y=f（x）有极值，则f′（）=0，即4a+3b+4=0②
联立①②解得a=2，b=-4．
设切线l的方程为y=3x+m，
由原点到切线l的距离为，
则==
解得m=±1．
∵切线l不过第四象限，∴m=1，
由于切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4，
∴1+a+b+c=4，∴c=5．
故a=2，b=-4，c=5．
（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2-4x+5，
∴f′（x）=3x2+4x-4．
令f′（x）=0，得x=-2，x=．
当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表：

x [-3，-2） -2 （-2，） （，1]
f′（x） + - +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑

∴f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=13，
在x=处取得极小值f（）=．
又f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13，最小值为．