Question

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角C-PA-B的大小．

Answer

解法一：（ I）由题设条件，易证得PC⊥AB，CD⊥AB，故可由线面垂直的判定定理证得AB⊥平面PCB；
（II）过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接PF，CF即可证得∠PAF为异面直线PA与BC所成的角．在△PFA中求角即可．
（Ⅲ）取AP的中点E，连接CE、DE，可证得∠CED为二面角C-PA-B的平面角，在△CDE中求∠CED即可．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）以B为原点，建立坐标系，求出，，利用向量的夹角公式，即可求得异面直线AP与BC所成的角；
（Ⅲ）求出平面PAB的法向量，平面PAC的法向量=（1，1，0），利用向量的夹角公式，即可求得二面角C-PA-B的大小．
解法一：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD⊥AB．
又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．
（Ⅱ）过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接PF，CF．则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角．
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CF⊥AF． 由三垂线定理，得PF⊥AF．则AF=CF=，PF=，
在Rt△PFA中，tan∠PAF==，即∠PAF=．
∴异面直线PA与BC所成的角为．
（Ⅲ）取AP的中点E，连接CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE=．
∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA．
∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角．
由（Ⅰ）AB⊥平面PCB，又∵AB=BC，AC=2，∴BC=．
在Rt△PCB中，PB=，．
在Rt△CDE中，．
∴二面角C-PA-B的大小为．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）AB⊥平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．
以B为原点，如图建立坐标系．则，B（0，0，0），，．，．
∴==．
∴异面直线AP与BC所成的角为．
（Ⅲ）设平面PAB的法向量为=（x，y，z）．，，
则，即，令z=-1，得．
设平面PAC的法向量为=（x′，y′，z′）．，，
则，即，令x′=1，得=（1，1，0）．
∴=，
∴二面角C-PA-B的大小为．