Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：S_n＜；
（Ⅲ）设函数f（x）=x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求．

Answer

（I）利用数列递推式，再写一式，两式相减，利用等比数列的通项公式，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求出Sn的表达式，即可证明结论；
（III）求出bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），利用裂项法求和即可．
（Ⅰ）【解析】
当n≥2时，，
∴2an=-an+an-1
∴，----------------------------------（4分）
由得
∴数列{an}是首项、公比为的等比数列，
∴------（6分）
（Ⅱ）证明：由得---------------------------------（8分）
∵，∴
∴---------------------------------------------------------（10分）
（Ⅲ）【解析】
∵，
∴=
=-------------------（12分）
∴
∴===--------（14分）